公式搜索时代（The Formula-Search Era）

AlphaEvolve (2021) — 在表达式树（expression tree）上的演化式 AutoML

核心思想。 把阿尔法定义为跨三类算子的程序——标量（scalar）、向量 （vector，横截面）和矩阵（matrix，关系型）——严格地比标量公式化阿尔法（formulaic alpha）更丰富， 却仍可作为弱相关的因子集合被挖掘。一个演化式搜索（锦标赛选择（tournament selection）、变异（mutation）、 相关性剪枝（correlation pruning））探索这一扩展空间，其中的剪枝加速器在消融实验中被证明可带来约 10× 的搜索效率提升。

标量 / 向量 / 矩阵算子分类

传统的公式化阿尔法（例如 WorldQuant 风格的 "Alpha#101" 表达式）完全由 标量算子（scalar operators）构成：这些函数接收单只股票的一条或多条时间序列， 并为该股票返回单条时间序列。例子包括 log(close)、 ts_mean(volume, 20)（过去 20 日均值）、rank(close/open) 以及 ts_delta(high, 5)。它们逐只股票运算；每只股票的阿尔法都是 独立计算的。

AlphaEvolve 增加了两类更丰富的算子。向量算子（vector operators）在横截面上运算： 它们接收给定日期上所有股票的阿尔法值，并返回一个变换后的横截面。 具体例子有 cs_rank（横截面分位排名）、 cs_zscore（横截面 z-score）以及 sector_neutralize （减去行业均值）。这些算子使得诸如"在当前行业内部的 5 日动量排名"这类相对价值 表达式成为可能，而这在纯标量语法中是无法实现的。

矩阵算子（matrix operators）更进一步：它们引入了连接股票之间的显式关系结构 （一个邻接矩阵或权重矩阵）。例如，一个矩阵算子可以将横截面阿尔法向量 乘以一个行业邻接矩阵，从而为每只股票生成其相关同行阿尔法值的加权平均。 这允许诸如"供应链邻居的动量"或"相对行业 ETF 的强弱"这类表达式。关键区别在于，矩阵算子需要一个外部 关系矩阵 $\mathbf{R} \in \mathbb{R}^{N \times N}$ 作为输入，而标量算子与向量算子 在 OHLCV 数据内部是自足的。

为何表达式树程序比标量公式化阿尔法更丰富

标量公式化阿尔法是一个对每只股票独立求值的单一代数表达式。 AlphaEvolve 将每个阿尔法表示为一棵表达式树（expression tree）（一个程序），其内部节点 是来自上述三类中任意一类的算子，叶子节点则是市场特征（开盘价、最高价、最低价、 收盘价、成交量）或常数。由于标量、向量和矩阵算子可以在树内自由组合， 单个程序就能表达多步逻辑：先计算每只股票的动量 信号（标量），再在横截面上对其排名（向量），然后通过行业 图扩散（矩阵）。这种组合深度严格超出了纯标量语法的能力范围， 后者在任何节点都无法引用横截面或关系结构。

架构

锦标赛选择与变异如何进行

在每一代中，从当前阿尔法种群里随机抽取一个小的子集（即"锦标赛"）。 该子集中适应度（IC）最高的阿尔法被选为父代。 锦标赛选择在不需要对整个种群进行全局排序的情况下，引入了偏向高适应度个体的选择压力， 从而保持每一代的计算成本较低。

被选中的父代随后通过三种算子之一进行变异，每种以 概率 $p_m$ 应用：

• 算子替换：随机选取的某个内部节点的算子被替换为另一个 具有相同元数（arity）和类型类别的有效算子（例如 ts_mean 替换为 ts_std，二者都是标量一元时间序列算子）。
• 操作数更改：某个叶子节点的特征被切换（例如 close 替换为 volume），或某个常数被扰动。
• 子树插入 / 删除：随机选取的子树要么被替换为 新生成的随机子树（插入），要么被剪除并替换为单个叶子（删除）。 这控制了表达式复杂度，并允许跳跃到结构上不同的程序。

变异之后，有效性检查（算子输入的类型一致性、无除零、输出有限） 与基于哈希的去重（拒绝其表达式树哈希与某个已评估程序相同的阿尔法）会 在适应度评估之前过滤掉畸形或冗余的候选。

相关性剪枝及其约 10 倍的效率提升

在适应度评估之后，一个新生成的阿尔法只有当它与每个现有池成员之间的最大 绝对成对 Pearson 相关性低于阈值 $\tau_{\text{corr}}$（通常约为 0.15）时，才被纳入池中。那些通过了 IC 过滤、但 与某个现有信号的信息含量重复的阿尔法会被立即丢弃。

消融研究表明，在没有相关性剪枝的情况下，演化式搜索会把 绝大部分计算预算浪费在重新发现已知信号的细微变体上。 在剪枝启用后，每个存活下来的阿尔法都被迫占据收益预测空间中 一个不同的区域，因此搜索前沿每一代大约扩展快 10 倍。 其直觉很直接：在高维算子空间中，许多语法上不同的 程序会产生几乎相同的横截面输出。剪枝在早期就压缩了这种冗余， 把变异导向真正新颖的信号。

关系知识注入：威力与局限

矩阵算子需要一个预先指定的关系矩阵 $\mathbf{R}$——例如一个二值的 行业共属矩阵、一个供应链链接图，或一个滚动相关性矩阵。 这正是 Cui 等人所称的"关系知识注入"：领域专业知识被编码为一个 固定的图，演化式搜索去发现如何使用它（应用哪个矩阵算子、 在树的哪个深度、与哪些标量/向量变换组合）。

其局限在于关系结构本身是人工设计的，而非学习得到的。 系统无法发现某个新颖的关系（例如共享分析师覆盖、来自 10-K 文件的 客户—供应商链接）会具有信息量；它只能利用设计者 预先指定的关系。这是一个显著的瓶颈：矩阵算子类别的丰富程度 受限于搭建搜索的人的想象力与数据获取能力。后来的系统 （基于 GNN 的方法、由 LLM 驱动的智能体）尝试从数据中学习关系结构，但 代价是可解释性。

关键数学

适应度是平均横截面信息系数（Information Coefficient, IC），

用通俗的话说：对每个交易日 $t$，计算阿尔法的 横截面得分 $f(\mathbf{X}_t)$（每只股票一个数）与已实现的未来收益 $\mathbf{y}_t$ 之间的 Pearson 相关性。再把这个每日相关性在 $T$ 天上取平均。IC 越高意味着阿尔法 对股票的排序越接近实际后续收益的排序。

而一个新阿尔法只有当它与现有池 $\mathcal{F}$ 充分去相关时才被保留：

用通俗的话说：取新阿尔法的每日横截面输出，并将其与 池中已有的每个阿尔法做相关。如果最高的绝对相关性超过 $\tau_{\text{corr}}$， 则新阿尔法与某个已知信号过于相似，被丢弃。这道硬性门槛 强制每个池成员都携带真正独立的信息。

结果与局限

数据集与范围。 美股（NYSE/NASDAQ，2013--2017，约 1,026 只名称）。 该系统发现的阿尔法具有较高的夏普比率（Sharpe ratio），且成对相关性低于约 15%， 展示了相关性剪枝在维持池多样性方面的有效性。 具体的 IC 与夏普数值并未被显著地列表呈现；论文强调的是 相对于标准 GP 基线的多样性—效率权衡，而非绝对的 预测幅度。

值得内化的局限：

• 无梯度的纯演化式搜索难以扩展到非常大的算子空间； 每次适应度评估都需要一次完整的横截面回测。
• 矩阵算子显著增加了计算成本（在每次评估时对 $N \times N$ 关系做矩阵乘法）。
• 没有组合模型：阿尔法被单独挖掘并事后拼装，这意味着 搜索得不到来自下游组合的反馈。
• 关系领域知识是人工设计的，而非从数据中学习得到的。
• 没有抗过拟合方法：没有缩减夏普比率（Deflated Sharpe Ratio）、没有 PBO、没有走步外推（walk-forward）净化。 鉴于搜索会评估数千个候选程序，所报告的指标 易受选择偏差影响。
• 仅在美股上测试；没有跨市场验证。

AlphaGen (2023) — 用 RL/PPO 生成协同的公式集合

核心思想。 不要再一次只挖一个阿尔法。让 RL 的奖励等于 组合因子池的 IC，而非单个阿尔法的 IC——这样策略学到的是能改进 整体集成的因子。协同（synergistic）成为目标本身，而非事后补救，从而构建出一条从 组合器回到生成器的反馈回路。

为何优化组合池 IC 胜过单独挖掘阿尔法

传统的阿尔法挖掘（包括 AlphaEvolve）按每个候选公式的独立 IC 来评估它。 最优的单个阿尔法被收集起来，然后用等权或优化权重事后组合。 问题在于：两个各自都很强的阿尔法之间可能高度相关，组合时 几乎不贡献边际信息。反之，一个 IC 一般、但 与现有池不相关的阿尔法，却可能大幅提升组合的预测能力。 独立 IC 排名对这种互补性是盲目的。

AlphaGen 通过让 RL 奖励等于组合线性模型 $\hat{y} = \sum_j w_j f_j(\mathbf{X})$ 的 IC（而非新生成的 $f_{\text{new}}$ 单独的 IC）来解决这一问题。 因此，当某个阿尔法被加入 现有池并由 OLS 重新加权后，若能产生比没有它的池更好的集成预测，策略网络就会获得更高的奖励。 这之所以"协同"，是因为生成器被直接激励去填补 池在收益预测空间覆盖上的空缺。一个重复现有 信息的高 IC 阿尔法只获得低奖励；一个与池正交的中等 IC 阿尔法则获得高 奖励。这条反馈回路弥合了 AlphaEvolve 留下的搜索与组合之间的鸿沟。

架构

LSTM 策略网络有 2 层、128 个隐藏单元，外加分离的策略头与价值头 （各为一个含 64 个隐藏单元的 2 层 MLP）。在每一步，策略以 迄今为止的部分序列为条件，从有效 RPN 算子与操作数的词表中采样一个词元，直到 输出一个 SEP（分隔符）词元或达到 20 词元上限。语法约束 （对 RPN 的栈深度检查）确保每段输出序列都能解码为一棵良构的表达式 树。组合模型是对池中 top-$k$ 个阿尔法做的一个简单 OLS 线性回归； 当加入新阿尔法且池超出容量时，绝对 OLS 权重 最小的那个阿尔法被丢弃。

关键数学

用通俗语言解释 PPO 目标

生成器用裁剪式 PPO（近端策略优化（PPO））目标进行训练

各项的作用。 比率 $r_t(\theta)$ 衡量当前策略 $\pi_\theta$ 采取动作 $a_t$ 的可能性，相比采集数据的旧策略 $\pi_{\theta_{\text{old}}}$ 增大（或减小）了多少。如果策略自数据采集以来变化很大，$r_t$ 就会 远离 1。优势函数（advantage） $\hat{A}_t$ 估计该动作的结果比预期 更好还是更差：正优势意味着"该动作带来了高于平均的组合池 IC"， 负优势意味着"该动作损害了整体集成"。乘积 $r_t \hat{A}_t$ 推动 策略增大具有正优势的动作的概率，并减小具有 负优势的动作的概率。

裁剪 $\text{clip}(r_t, 1-\epsilon, 1+\epsilon)$ 是稳定性机制。 若没有它，单个高优势动作就可能引发巨大的策略更新，使训练失稳。 取裁剪项与未裁剪项的 $\min$ 确保当 $r_t$ 偏离 1 过远 （策略变化过大）时，梯度被置零。典型取 $\epsilon = 0.2$，意味着 每次更新的策略比率被限制在 0.8 到 1.2 之间。这使 RL 训练在 探索公式空间所需的数千个回合中保持稳定。

定理 3.1：支持增量更新的分解

他们的定理 3.1 将组合损失分解，使其能以 $O(k^2)$ 复杂度更新：

其中 $\bar\sigma_y(f_i)$ 是 $f_i$ 与收益的时间平均相关性（即它的 IC）， $\bar\sigma(f_i,f_j)$ 是平均成对相关性。回合奖励就是协同目标 $r=\bar\sigma_y\!\left(\sum_i w_i f_i\right)$。

这个分解为何重要。 朴素地看，每当往池中加入一个新阿尔法， 你都需要从头重新计算整个组合模型：在全部 $N$ 只股票和 $T$ 个日期上 重新评估所有 $k$ 个阿尔法、重新拟合 OLS、并重新计算组合 IC。在约 1,000 只股票、约 1,000 个 交易日、以及一个含 $k$ 个阿尔法的池的情况下，每次加入的成本是 $O(NTk)$——当 RL 智能体 在每次训练中生成数千个候选阿尔法时，这非常昂贵。

定理 3.1 表明，组合损失只依赖于两组可预先计算的汇总 统计量：(i) $k$ 个单独 IC $\bar\sigma_y(f_i)$（每个阿尔法与收益的时间平均 相关性），以及 (ii) $k \times k$ 的成对相关性矩阵 $\bar\sigma(f_i, f_j)$。 当一个新阿尔法 $f_{k+1}$ 到来时，你只需计算 $k+1$ 个新数：它的 IC $\bar\sigma_y(f_{k+1})$ 以及它与各阿尔法的 $k$ 个成对相关性 $\bar\sigma(f_{k+1}, f_j)$， $j = 1, \ldots, k$。随后即可从扩展后的 $(k+1) \times (k+1)$ 相关性矩阵更新 OLS 权重。总增量成本：矩阵运算的 $O(k^2)$ 加上 计算新阿尔法横截面值的 $O(NT)$（这无论如何都必须做）。这使得 奖励信号足够廉价，可作为每个回合都计算的 RL 奖励。

解读结果

IC 0.0725 在实践中意味着什么。 CSI300 上 0.0725 的 IC 意味着，在 平均的一个交易日里，组合阿尔法的横截面股票 得分与随后已实现收益之间的 Pearson 相关性约为 7.25%。在中国 A 股中，这是一个有意义的信号：经验上，该市场中 IC 高于约 0.03 即被视为可交易，0.07 以上 按横截面标准已属强劲。作为对照，单个广为人知的因子（例如 20 日 动量）通常给出 0.02--0.04 区间的 IC；AlphaGen 的组合池几乎将其 翻倍。相对 XGBoost（0.0404）的提升表明，协同式公式组合方法 捕捉到了单个在原始特征上训练的非线性模型所捕捉不到的结构。

为何 RankIC 与 IC 不同。 IC 对原始阿尔法得分 和原始收益使用 Pearson 相关性；它对异常值以及两个变量的分布形态都很敏感。 RankIC（Spearman 相关性）先在横截面上对阿尔法得分和收益分别排名， 再对排名做相关。这使 RankIC 对非线性和极端值具有稳健性。 实践中，RankIC 往往高于 IC（如本表中 CSI300 上 0.0806 vs. 0.0725）， 因为阿尔法的排序能力优于其预测收益确切 幅度的能力。对于组合构建（多空十分位组合），RankIC 可以说是 更具决策相关性的指标，因为交易信号是"该超配哪些股票"（一个 排序问题），而非"每只股票将跑赢多少个基点"（一个回归问题）。

CSI300 对比 CSI500。 AlphaGen 的 IC 从 0.0725（CSI300，大盘）下降到 0.0438 （CSI500，中盘）。这与中盘股更高的噪声和更低的分析师覆盖一致， 使得横截面预测更困难。GP 基线在 CSI500 上崩塌到 0.0117， 表明独立的公式化搜索在噪声更大的股票池中尤其脆弱—— 而这恰恰正是协同组合贡献最大价值的地方。

在 CSI300 上（2020--2021）使用 top-50/drop-5 策略的回测显示出相对基线最高的累计 净值（以图形方式报告；未提供列表化的夏普比率）。

局限

局限要点。 $O(k^2)$ 的成对成本把池上限压在几十个；仅优化 IC （无夏普/换手率/回撤）；仅限中国 A 股；固定的线性组合器；没有走步外推净化 或夏普缩减。第 3 讲的动态组合正是对此的直接回应。

• $O(k^2)$ 的成对相关性计算把实际可用的池规模限制在几十个 阿尔法。超过约 50 个之后，OLS 的矩阵求逆在数值上变得脆弱，且每回合 计算所有成对相关性的成本以平方增长。
• 目标是纯 IC——没有对高换手率的惩罚、没有回撤约束， 也没有交易成本模型。一个 IC 为 0.07 但日换手率达 80% 的组合阿尔法， 在计入成本后可能无法交易。
• 组合模型是一个固定的线性回归。阿尔法之间的非线性交互 （例如动量只在低波动率体制下有效）对组合器是不可见的， 因而对奖励信号也是不可见的。
• 没有抗过拟合控制：没有缩减夏普比率、没有走步外推净化、没有 多重检验校正。RL 智能体评估数千个候选公式； 所报告的 IC 是找到的最优池，并未对尝试了多少个池做校正。
• 仅在中国 A 股（CSI300/CSI500）上测试。能否迁移到微观结构与 信息环境差异巨大的美股或欧股市场，尚属未知。